神奇的公式

前幾天我看到一個公式，叫做金曼公式（Kingman's Formula），它可以從數學的角度解釋為什麼「你永遠被任務追著跑」，有趣吧。

先來看看他長什麼樣。

我知道它長得有點可怕，不過我們不需要知道每個符號的意義也可以運用這個公式。只要知道公式最左邊的 E(Wq) 代表等待時間的期望值，而 ρ 代表「稼動率」就行了（可以想像成工作負荷量）。

再換個更平易近人的說法，我們可以把 E(Wq) 想像成「待辦任務卡在手上的時間」，而 ρ 想像成「我在有限的時間、精力下，安排了多少任務」。

接著我們來做一些簡單的計算。

• 當負荷 ρ=0.5 (50%)，ρ/(1-ρ) 數值是 1。

• 當負荷 ρ=0.9 (90%)，ρ/(1-ρ) 數值跳到 9。

• 當負荷 ρ=0.95 (95%)，ρ/(1-ρ) 數值暴增到 19。

• 當負荷 ρ=1 (100%)，ρ/(1-ρ) 數值將趨近於無限大。

結論就是：當你將 ρ（負荷量）調到 90% 以上，等待時間的期望值會以翻倍的方式暴增；如果你把負荷量調到 100%，那等待時間的期望值會趨近於無限大。

因此我們可以得知，只要負荷量 ρ 太高，你的「待辦任務卡在手上的時間」將會暴增，而且這是一條非常陡峭的曲線，意味著「你手上的待辦事項會越堆越多，整個人一直被事情追著跑」。

我想上面所陳述的狀況，是許多人最寫實的心聲吧。

那麼要如何避免這種崩潰的狀況呢？我們必須找到「適中」的負荷量。只要把公式畫成一條曲線，觀察不同的負荷量 ρ 下，曲線的狀況（等待時間的期望值），就可以找到最適合的負荷量。

• 平緩區 (負荷 0% - 80%)：此時曲線還很平緩，等待時間的期望值非常穩定。因此系統非常有彈性，就算偶爾有突發狀況，也能輕鬆消化。

• 危險區 (負荷 80% - 90%)：曲線開始陡峭，等待時間期望值暴增。你幾乎一定會感覺到「事情做不完」，必須透過犧牲休息、加班來彌補變異。

• 爆炸區 (負荷 90% - 100%)：當稼動率趨近 100%，分母 (1−ρ) 趨近於 0，導致等待時間趨近於無限大，你應該可以體會到「大爆炸」是什麼感覺。

於是我們從公式推導出來的最佳負荷量大約在 80% 左右。 80% 法則在現實中也廣為受到製造業工廠使用，刻意地保留閒置產能可以為工廠的穩定性擔保，避免因為任何失誤或不可控因素而導致整個系統崩潰，同時確保產品品質，也維持最佳的「存貨前置時間」來降低存貨成本。

所以，數學都告訴你 80% 法則了，下次安排計劃時，也試著把時間、精力、都保留 20% 的空白當作備用，然後感受一下 80% 法則為你帶來的從容、高效率、高品質產出與穩定性吧！